Dürer Cuadrado Mágico

Grabado "Melancholia I"

Albrecht Dürer (1471-1528) se considera en general más famoso Alemania artista de Renacimiento. Fue alrededor de 20 años más joven que Leonardo da Vinci y alrededor de 1500 se convirtió en un gran interés en la relación entre las matemáticas y el arte. Leonardo y sus contemporáneos, matemático Pacioli, casi seguro que influyó Durero en estos estudios. En 1514 creó el cobre grabado de nombre "melancolía I" que contiene su cuadrado mágico - el primer cuadrado mágico publicado en Europa.


Grabado Melancholia I / 24 x 19 cm

Este grabado de cobre por Albrecht Dürer ha sido visto como un retrato de el artista y la esencia del humanismo alemán. La figura alada se ilustra al mismo tiempo los peligros y las satisfacciones de la actividad intelectual. Es la imagen del espíritu creativo del hombre solo con su interior pensamientos. La escalera inclinada contra el edificio, indicando que esta es sin terminar, sin resolver el problema de geometría, cupido por encima de la rueda, el perro hidrofóbico, la caída de arena del reloj de arena, y el equilibrio oscilante vacía ... todo esto resume la desesperación a la melancolía.

Dürer's magic square


Cuadrado de Durero en grabado

Albrecht Dürer (autorretrato a los 28 años)

Cuadrado mágico de Durero, uno más conocido y más enigmático, es un cuadrado mágico con la magia constante 34, utilizado en un grabado titulado melancolía I por Albrecht Dürer (El Museo Británico, Burton 1989, Gellert et al. 1989). El grabado muestra una mezcla desorganizada de equipo científico mentir no utilizados, mientras que un intelectual se encuentra absorbido en el pensamiento. Cuadrado mágico de Durero se encuentra en la esquina superior derecha del grabado. Los números 15 y 14 aparecen en el centro de la fila de abajo, indicando la fecha del grabado, 1514.

La suma 34 se pueden encontrar en las filas, las columnas, las diagonales, en cada uno de los cuadrantes, en centros cuatro cuadrados, en cuadrados de la esquina, en los cuatro números exterior del reloj de las esquinas (3+8+14+9), así como las cuatro agujas del reloj, los dos conjuntos de cuatro números simétricos (2+8+9+15 y 3+5+12+14) y la suma de las dos entradas de las dos columnas y las dos filas exterior (por ejemplo, 5+9+8+12), así como varios cuartetos en forma de cometa, por ejemplo, 3+5+11+15. En realidad, hay 86 combinaciones diferentes de cuatro números en cuadrado de Durero que suma a número mágico 34!

En el applet debajo, los números están reproducidas en un estilo más moderno. Cada fila, cada columna y cada diagonal da suma 34; estas son magicas tradicionales propiedades. Pero hay más magia a se encuentran aquí. Existe realmente trece diferentes maneras de dividiendo esto cuadrado en cuatro grupos de cuatro células, cada uno grupo de cuatro células que suma 34. El menú en el applet puede utilizarse para seleccionar entre estos. Si haces clic en una de las células, el número del grupo será ampliar y resaltados en rojo. Grupos de células no son arbitrarios. Las posiciones en cuadrado de Durero pueden ser percibidos como un finito espacio vectorial, en que cada conjunto de cuatro grupos de cuatro células es una colección de planos paralelos.


Applet de Christopher J. Henrich

Cuadrado mágico de Durero tiene además propiedad de que las sumas en ninguno de los cuatro cuadrantes, así como la suma de los medios cuatro números, son 34 (Hunter y Madachy 1975, p. 24). Por lo tanto, es un cuadrado mágico gnomon. Un gnomon cuadrado mágico es un 4 × 4 cuadrado mágico en el que los elementos en cada 2 × 2 esquina tienen la misma suma. Durero cuadrado mágico, se ha ilustrado más arriba, es un ejemplo de un gnomon cuadrado mágico desde las sumas en ninguno de los cuatro cuadrantes (así como la suma de cuatro números de la mitad) son 34. Además, cualquier par de números colocados simétricamente sobre el centro de cuadrado sumas a 17, una propiedad que cuadrado aún más mágico.

Intercambiar columnas no cambia las sumas de columnas o las sumas de filas. Por lo general, cambios sumas en la diagonal, pero en este caso sumas de diagonales están todavía 34. Así nuestra cuadrado mágico coincide con este en grabado de Durero. Durero probablemente eligió este particular 4 x 4 cuadrado, porque la fecha en que hizo el trabajo, 1514, se produce en medio de la fila inferior.

Las 8 formas de Dürer Cuadrado

Los ocho figuras del cuadrado mágico de Durero están representados anteriormente. Recuerde que todo cuadrado mágico tiene ocho "formas" o ocho "figuras" diferentes, que se obtiene por rotación (4 figuras, incluyendo el original), por simetría con medianas (2 figuras) y por simetría en relación con diagonales principales (2 figuras).

163213
510118
96712
415141
49516
156103
147112
112813
114154
12769
811105
132316
138121
211714
310615
16594
Original

Rotación ¼

Rotación ½

Rotación ¾

132316
811105
12769
114154
415141
96712
510118
163213
112813
147112
156103
49516
16594
310615
211714
138121
Simetría
primera mediana

Simetría
segundo mediana

Simetría
segundo diagonal

Simetría
primera diagonal


Durero cuadrado mágico con líneas
De Suzanne Alejandre

Numerología de Melancholia I

En esta sección se presentan algunos resultados apuntaron gracioso por David Bowman.

El año de la grabación se escribe como 15-14, en medio de células de la fila inferior. Aún más, el número de la derecha es 1, que es el mismo que A en un simple código masónico de valores [A=1, B=2, C=3, ... Z=26], y el número a la izquierda de la la fecha es igual a 4, gematric valor de D. Ambos números son, por tanto, entre las letras A y D, que casi religiosamente se utiliza como monograma de Albrecht Dürer.

La suma de todos los números en el cuadrado mágico de Durero es de 136, el número que esconde tanto artista y título de la maestra obra. Durero utilizado otra variante, latín, de la ortografía de su nombre - ALBRECHT DVRER:

ALBRECHT DVRER = (1+12+2+18+5+3+8+20)+(4+22+18+5+18) = 136

MELENCOLIA I es el grabado título, I podía ser leído como Eins [en alemán, I = Uno = Eins]:
MELENCOLIA EINS = (13+5+12+5+14+3+15+12+9+1)+(5+9+14+19) = 136

También hay otra broma matemáticos ocultos en los números. Si se toman dos campos por un número (16 y 3 = 163, 2 y 13 = 213, 5 y 10 = 510, etc) y se sumarán, el valor que se obtiene es de 2368. Este número es significativo, ya que iguala el valor de Jesucristo en griego:

ΙΗΣΟΥΣ ΧΡΙΣΤΟΣ = 888+1480 = 2368

163+213+510+118+96+712+415+141 = 2368

Este podría ser el homenaje de Durero a Demiurgo, el Gran Arquitecto, que es también uno de los aspectos de la figura central de la Melencolia I, la celebración de una brújula, un símbolo frecuente de muchos ortodoxos como los iconos que representan Cristo como Pantocrátor.

Las dimensiones del grabado de Durero son aproximadamente de 18.9 x 24.1 cm, que se acerca mucho a la proporción 11:14. Esta proporción se muy a menudo utilizó en composiciones clásicas, sobre todo porque se deriva de la relación 22:7 que se aproxima Pi = 3.14159 ... y fue conocido desde tiempos antiguos. La importancia de Pi en la composición de Melencolia I se destacó por la esfera en la esquina inferior izquierda del grabado, que es a la vez también un módulo de la composición.

Mathematics of Dürer's Magic Square

La mágica constante de un cuadrado mágico normale sólo depende de n, y tiene el valor de M = (n3 + n)/2. Aquí está la prueba. Habida cuenta de un  cuadrado mágico normal, supongo que M es el número que cada fila, columna y diagonal deben sumar al. A continuación, ya que hay n filas la suma de todos los números en el cuadrado mágico debe ser . Pero los números que se añade son 1, 2, 3, ... n2, por lo que 1 + 2 + 3 + ... + n2. En suma notación, . Utilizando la fórmula para esta suma, tenemos , y la solución para M da . Por lo tanto, un Lo Shu normal cuadrado mágico normal debe tener su filas, columnas y diagonales se suma a , uno de Albrecht Dürer a M = 34, uno de Benjamin Franklin  a M = 260, y así sucesivamente.

Symbolic Elements in Melencolia I and interpretations

Elementos en la imagen

Varios elementos que aparecen en la imagen; entre los más evidentes están:

  1. Las herramientas de geometría y de arquitectura la rodean, sin usar
  2. El cuadrado mágico 4 × 4, con las dos células del medio, en la fila inferior, proporcionan la fecha del grabado: 1514.
  3. El romboedro truncado,[2] que ha sido objeto de numerosos artículos
  4. El reloj de arena mostrando que el tiempo se escapa
  5. La escala desequilibrada a pesar de no contener sustancia alguna
  6. La figura alada abatida de un genio
  7. La bolsa y las llaves
  8. En el cielo, al fondo, rodeada por un arcoiris "lunar", brilla un cometa, inquietante símbolo nocturno capaz de suscitar sentimientos melancólicos.
  9. Hay alusiones al conocimiento matemática mediante el uso de símbolos tales como la brújula, sólido geométrico, cuadrado mágico, balanza, reloj de arena.
  10. La figura alada lleva en torno a las sienes verbena, planta proverbial para ahuyentar la locura.

Interpretacións de Melencolia I

Ha sido objeto de más interpretaciones modernas que casi cualquier otra imagen en arte, incluyendo un libro en dos volúmenes de Peter-Klaus Schuster, y una discusión muy influyente en la monografía sobre Durero de Erwin Panofsky. La interpretación más obvia es la que entiende que esta imagen representa el estado depresivo o melancólico y de acuerdo con ello se explican varios elementos que aparecen en la imagen. La sugerencia de que forma parte de una serie de grabados que tenía planeados sobre el mismo tema no es una tesis generalmente aceptada. En lugar de ello, parece más probable que el "I" se refiera a la primera de los tres tipos de melancolía definida por el escritor humanista alemán Enrique Cornelio Agripa de Nettesheim. Sería la Melencholia Imaginativa, tipo que padecían los artistas y en la que la 'imaginación' predominaba sobre la 'mente' o la 'razón'.

Erwin Panofsky (Judío Alemán y historiador del arte) propone la interpretación más autorizada de Melencolia me Durero como el "autorretrato espiritual". Doorly Patrick ha demostrado que el grabado es muy endeudados a Platón Hippias Principales y aún más para el libro de Luca Pacioli, De Divina Proportia. John Lee ha comentado sobre el simbolismo alquímico del grabado.

La desesperanza de la figura alada ilustra a la vez los peligros y las satisfacciones de la actividad intelectual y es la imagen del espíritu creador, del hombre a solas consigo mismo. El edificio con escalera indicando que está en construcción, el problema geométrico sin resolver, Cupido sobre una rueda, el perro hidrófobo, el reloj con la arena cayendo, la balanza vacía oscilando, todo sume en desesperación a la Melancolía. Pero el tablero con el cuadrado mágico resuelto, presagia soluciones a los problemas más enredados.

La Melancolía se asocia con Saturno. Melancolía I simbolizaría la esfera intelectual dominada por el planeta Saturno, según la tradición astrológica ligado al sentimiento de la melancolía, constituyendo una conexión entre el mundo racional de las ciencias y el imaginativo de las artes. Saturno es el planeta de los creadores. Su influencia es terrible sobre el ánimo de los melancólicos, por lo que han de protegerse con talismanes astrológicos: la mala influencia se aprecia en el cometa, un fenómeno maléfico. La protección está en el cuadro mágico, conocido como la "mesa de Júpiter", cuyas cifras leídas en cualquier sentido suman 34. Además, incluyen las cifras de la muerte de la madre de Durero, Barbara, que afectó mucho al artista (ocurrió el mismo año de 1514).

REFERENCES