Benjamin Franklin (1706-1790), científico, inventor, estadista, filósofo, economista, músico, y impresora, inventado este 8x8 cuadrado mágico en su tiempo libre. Es un puro cuadrado mágico en el sentido de que utiliza los consecutivos números contando de 1 a 64. Además, 8×8 Franklin cuadrado, es un panmágico cuadrado tener mágica constante 260.
La animación a continuación muestra las combinaciones que suma a 260. Las combinaciones le sorprenderá ... realmente mágico!!! Como Ben él mismo ha conocido comentó, el 16x16 cuadrado es "la más mágica de cualquier cuadrado mágico que jamás se ha hecho por un mago". (Jared Sparks, ed., The Works of Benjamin Franklin vol. VI, 1856).
Al describir su invención en 1771, Franklin dijo: «Yo siempre que se haya cansado de la sesión para escuchar los debates, en la que, como secretario, no podía tomar ninguna parte, y que a menudo son tan aburridos que me vi obligado a divertido hacer cuadrados o círculos mágicos» (Autobiografía de Franklin, 1793).
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| Franklin's Pure Magic Square | Benjamin Franklin |
Un cuadrado mágico de Franklin es un cuadrado semi-mágico con cada uno de los cuatro principales líneas dobladas que suma igual a la mágica constante. La suma de cada fila y de cada columna es igual a 260 [260 = 22x5x13], pero eso no es todo. La mitad filas y la mitad de columnas tienen suma de 130. Las cuatro entradas en todos los 2x2 sub-cuadrados tienen un total de 130. Pero hay más! En lugar de exigir que sumas son constantes en las diagonales (como en un puro cuadrado mágico), Franklin utiliza "dobladas filas" como se describe a continuación. Franklin eligió poner a prueba la "magia" que utilicen otro tipo de diagonal de su predecesor Frénicle (B. Frénicle de Bessy, et al. Divers ouvrages de mathematique et de physique [Varios libros de física y matemáticas], 1693), utilizando un una forma que él llamó "doblada fila".
Formas-V se puede sacar de lado o de arriba a abajo, y que todavía suma a 260. Cada mitad de la línea y la mitad de cada columna es de 130, y la suma de cada doblada fila paralelo es de 260. Señaló que "Los cuatro números de la esquina, con los cuatro números en el centro son de suma 260. "Además, cada 2x2 bloque tiene un total de 130 y las doce dobladas líneas desconectadas son un total de 260. En las figuras a continuación, las dobladas diagonales de arriba hacia abajo (Figura 1) con un total de 260. Incluso los rotos que dispone de dos piezas! Siga las pautas de color y podrás verificarlo. (Cada doblado diagonal o roto diagonal deben tener 8 células). Los otros tres figuras que indican la diagonal de derecha a izquierda (Figura 2) de abajo hacia arriba (Figura 3) y de izquierda a derecha (Figura 4) también tienen sumas de 260.
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| Figura 1 | Figura 2 |
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| Figura 3 | Figura 4 |
La mágica constante de un cuadrado mágico normal sólo depende de n, y tiene el valor de M = (n3 + n)/2. Aquí está la prueba. Habida cuenta de un 
cuadrado mágico normal, supongo que M es el número que cada fila, columna y diagonal deben sumar al. A continuación, ya que hay n filas la suma de todos los números en el cuadrado mágico debe ser 
. Pero los números que se añade son 1, 2, 3, ... n2, por lo que 1 + 2 + 3 + ... + n2 = . En suma notación, 
. Utilizando la fórmula para esta suma, tenemos 
, y la solución para M da 
. Por lo tanto, un Lo Shu 
normal cuadrado mágico normal debe tener su filas, columnas y diagonales se suma a 
, uno de Albrecht Dürer 
a M = 34, uno de Benjamin Franklin 
a M = 260, y así sucesivamente.
Esta sección se basa en un artículo de C.A.J. Hurkens, Plenty of Franklin Magic Squares, but none of order 12, 4 de junio de 2007.
Hay una loca teoría detrás de Franklin cuadrado mágico. Según varias descripciones, un cuadrado mágico natural de Franklin de par tamaño n es una matriz cuadrada M, con n filas y n columnas, con las siguientes propiedades:
Según Hurkens, resulta que cualquier Franklin Cuadrado Mágico mantiene su mágicas propiedades en una serie de transformaciones de la matriz, a saber: