Carré magique de Franklin

Carré magique 8x8 de Franklin

Benjamin Franklin (1706-1790), scientifique américain, inventeur, homme d'État, philosophe, économiste, musicien, et imprimeur, a inventé ce carré magique 8x8 dans son temps libre. Il s'agit d'un carré magique pur car il utilise les nombres consécutifs 1 à 64. En outre, le carré 8×8 de Franklin est un carré panmagique ayant une constante magique 260.

Le carré semi-magique de Franklin a notamment les propriétés suivantes :

  1. La somme des éléments de chaque rangée orthogonale et de chaque demi-rangée orthogonale est respectivement égale à 260 et à 130.
  2. La somme des huit nombres placés sur deux axes comportant chacun quatre nombres et se coupant à angle droit est égale à 260. Exemple : 16 + 63 + 57 + 10 + 23 + 40 + 34 + 17 = 260
  3. La somme des quatre nombres formant tout carré de quatre cases est égale à 130. Exemple : 15 + 18 + 49 + 48 = 130
  4. La somme de quatre nombres des coins des carrés dont le centre appartient à l'une ou à l'autre des deux diagonales du carré est égale à 130. Exemple : 52 + 13 + 11 + 54 = 130.

L'animation ci-dessous montre les combinaisons donnant toutes la somme 260. Les combinaisons vont vous étonner ... vraiment magique!!! Comme Ben lui-même a célèbrement remarqué, le carré 16x16 est "le plus magiquement magique de tout carré jamais fait par un magicien." (Jared Sparks, ed., The Works of Benjamin Franklin Vol. VI, 1856).

Décrivant son invention en 1771, Franklin a déclaré: «J'étais à longue fatigué d'être assis là à entendre les débats, dans lesquels, à titre de secrétaire, je pouvais n'y prendre aucunément part, et qui sont souvent si ennuyants que je fus contraint de m'amuser à faire des carrés ou des cercles magiques» (Autobiographie de Franklin, 1793).

Franklin's Pure Magic Square Benjamin Franklin

Un carré magique de Franklin est un carré semi-magique avec chacune des quatre principales lignes pliées donnant une somme égale à la constante magique. La somme de chaque ligne et de chaque colonne est égale à 260 [260 = 22x5x13], mais ce n'est pas tout. La moitié des lignes et les demi-colonnes ont une somme de 130. Les quatre entrées dans tous les sous-carrés 2x2 ont aussi une somme de 130. Mais il y a encore plus! Au lieu d'exiger des sommes constantes dans les diagonales (comme dans un carré magique pur), Franklin utilise des "rangées pliées" telles que celles décrites ci-dessous. Franklin a préféré tester la «magie» en utilisant un autre type de diagonale de son prédécesseur Frénicle (B. Frénicle de Bessy, et al., Divers ouvrages de mathématique et de physique, 1693), utilisant une forme qu'il a appelé "ligne pliée".

Les formes-V peuvent être prises de côté ou même de haut en bas, et elles seront toujours de somme 260. La somme de chaque demi-ligne et de chaque demi-colonne est 130, et la somme de chacune des lignes pliées parallèles est de 260. Il note que «Les quatre nombres de coin, avec les quatre nombres du milieu, font 260.» Aussi, chaque bloc 2x2 a une somme de 130 et les douze lignes pliées déconnectées font une somme de 260. Dans les figures ci-dessous, les diagonales courbées allant de haut en bas (Figure 1) ont une somme de 260. Même celles brisées qui ont deux morceaux! Suivez les schémas de couleur et vous serez en mesure de vérifier cela. (Chaque diagonale pliée ou diagonale brisée devrait avoir 8 cellules). Les trois autres figures indiquant les autres diagonales allant de droite à gauche (Figure 2), de bas en haut (Figure 3) et de gauche à droite (figure 4) ont également des sommes de 260.

Figure 1

Figure 2

Figure 3Figure 4

Images de William H. Richardson, Professor at Wichita State University

Mathématiques du carré de Franklin

Propriétés générales
du carré de Franklin

La constante magique d'un carré magique normal ne dépend que de n et a la valeur M = (n3 + n)/2. Voici la preuve. Étant donné un carré magique normal , supposons que M est le nombre-somme auquel devrait correspondre le total de chaque rangée, colonne et diagonale. Comme il y a n lignes, la somme de tous les nombres dans le carré magique doit être . Mais les nombres additionnés sont 1, 2, 3, ... + n2, et ainsi 1 + 2 + 3 + ... + n2. En notation sommation, . En utilisant la formule de cette somme, nous avons , et la résolution de M donne . Ainsi, un carré magique normal Lo Shu doit avoir ses lignes, colonnes et diagonales totalisant , un d'Albrecht Dürer de M = 34, un de Benjamin Franklin de M = 260, et ainsi de suite.

Propriétés particulières
du carré de Franklin

Cette section est basée sur un article de C.A.J. Hurkens, Plenty of Franklin Magic Squares, but none of order 12, 4 juin 2007.

Il y a une folle théorie derrière le carré magique Franklin. Selon diverses descriptions, un carré magique naturel de Franklin de taille paire n est une matrice carrée M, à n lignes et n colonnes, avec les propriétés suivantes:

  1. les entrées de M sont 1, 2, . . . , n2;
  2. chaque ligne et chaque colonne a une somme fixe d'entrée n(1 + n2)/2;
  3. chaque sous-carré deux par deux a une somme 2(1 + n2);
  4. chaque demi-ligne à partir de la colonne 1 ou n/2 + 1 a une somme d'entrées égale à n(1 + n2)/4, et similaire pour les demi-colonnes à partir de la ligne 1 ou n/2 + 1;
  5. chaque moitié de la diagonale principale (à partir de la colonne 1 ou n/2 +1) avec chaque demi-diagonale retour est égale à la somme n(1+n2)/2. Cette construction est appelée diagonale pliée. Les exigences de somme tiennent également pour les soi-disant lignes pliées, qui se traduisent par deux demi-diagonales, éventuellement sur les côtés de la matrice.

Isomorphismes
dans le carré Franklin

Selon Hurkens, il s'avère que tout carré de Franklin maintient ses propriétés magiques dans le cadre d'un certain nombre de transformations matricielles, à savoir:

  1. réflexion sur axe de symétrie horizontal ou vertical;
  2. permutation des indices de la ligne (colonne) dans les séries S1 = {2k + 1 | 0 ≤ k < n/4}, S2 = {2k | 1 ≤ k ≤ n/4}, S3 = {2k+1 | n/4 ≤ k < n/2} et S4 = {2k | n/4 < k ≤ n/2};
  3. échange des n/4 lignes (colonnes) indexées par S1 avec celles indexées par S3; de même que, échange des n/4 lignes (colonnes) indexées par S2 avec celles indexées par S4;
  4. réflexion le long de la diagonale;
  5. remplacement de chaque entrée Mij par n2 + 1 - Mij .
    Les trois premières propriétés suffisent à prouver que nous pouvons supposer sans perte de généralité que la première entrée M1,1 = 1. Il est évident que les transformations ci-dessus ne changent pas la définition du carré magique Franklin.

RÉFÉRENCES

Book and articles by Paul C. Pasles.
Book
Benjamin Franklin's Numbers, order from Princeton University Press or Amazon.
Articles
"Benjamin Franklin, Magician?" Franklin Gazette, Fall 2000.
"The Lost Squares of Dr. Franklin."  lead article American Mathematical Monthly, June-July 2001.
"Benjamin Franklin." MacTutor entry, June 2001.
"Digging For Squares." Math Horizons, April 2002.
"Franklin's Other 8-Square." Journal of Recreational Mathematics, 31:3, 2003.
"A Bent for Magic." Mathematics Magazine, 79:1, 2006.
Frank Murphy, Ben Franklin and the Magic Square Amazon
Cliff Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars (Princeton, New Jersey: Princeton University Press)
W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes (New York: Dover, 1960). Chapter 3, entitled "The Franklin Squares".
Amela, M. A. "Structured Franklin Squares".
Franklin, B. The Autobiography of Benjamin Franklin. 1793. Reprinted New York: Dover, 1996.
Madachy, J. S. "Magic and Antimagic Squares." Ch. 4 in Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 103-113, 1979.
Pappas, T. "The Magic Square of Benjamin Franklin." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 97, 1989.